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zoom RSS ローレンツ変換は座標回転変換だというが、、[備忘録]

<<   作成日時 : 2011/10/25 00:01   >>

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ローレンツ変換はミンコフスキー空間の座標回転変換だという言い方が良く聞くことがあります。まあ、アインシュタインが言いだしっぺではなく、ミンコフスキー空間という見方が出来てからでしょうが、そういう考え方は何時頃からあるんでしょうか?ここでは、そういう歴史的なことを問題にしたいんじゃなくて、座標回転変換ということに少し拘って考えてみた結果の備忘録です。

座標回転変換というと「並進」「反転」変換と同様に距離(ds or ds2)を変えない変換ですね。それを前提に話を進めます。
c = 1 、空間一次元のとき、



を不変にするのがローレンツ変換です。
原点を合わせておくと、



を不変にすると言っても同じことになります。ここで、ω≡it とおくと、



なので、これを一定にする座標回転変換と見ることができます。つまり、(ω,x) 平面上での角度θの回転は、



となります。
ここで、ω'、ωが純虚数、x'、x が実数、なので、cosθ→実数、sinθ→純虚数、とすると辻褄が合うことになります。
こうするには、θ= -iψ として、





とする必要があります。
よって、



となり、ω→it に戻すと、

 

なので、



となりました。

ここから下は、私の考えです。
座標変換は色々あると思いますが、物理的に意味があるのは、何かを不変にする変換のみだと思います。
上に挙げた変換式のパラメータの一部(例えばψ)をやみくもに複素数などにして、何か新しいことが出てくるとは思えず、変換の前後で変わらないというものを見定めてから、複素数化するなら良いかと考えます。


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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
不変量と変換群の関係は「にわとりと卵」みたいな感じですが、不変量ありきと考える人の方が多そうですね。変換群(=連続群=リー群)は群の閉性と多様体の制限から7種しか存在しない(超群を除く)ので、数学に精通していると変換群ありきと考えてもあまり不自然には思えなくなるようです。ここでの T_NAKA さんのお話は SO(2) と SO(1,1) の対応を示したものになっています。ローレンツ変換は SO(3,1) です。各種の幾何学は変換群(あるいは不変量)に起因していて、これはクラインの壷で有名なクラインが提唱した考え方で、エルランゲン・プログラムと呼ばれています。「ユークリッド幾何学は O(3) において不変になっているのではなくて、O(3) の幾何学がユークリッド幾何学なのであり、定義なのだ」というような主張です。
あもん
2011/10/25 02:23
あもん、コメントありがとうございます。
例の光速度超えニュートリノ問題で、この変換式の ψ=tanh^-1(v/c) を複素数化して、説明しようとしている方がいらっしゃるようです。まあ、ご自分の考えをブログなどで発表するのは自由なので、それについてはとやかく言うことはないです。でも、そういう説明で変換前後の不変量はどう考えているのか?という疑問がありまして、ここは備忘録として書いておきました。何かあった場合に引用できるようにしておくためです。
結果的に変換群の写像のような話になっていますが、そういう意図がありまして。。
T_NAKA
2011/10/25 09:07

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