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zoom RSS 宇宙の状態方程式に関する問題(1)

<<   作成日時 : 2011/10/18 00:01   >>

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相対論的物質(radiation): p = ρ/3 なのですが、この条件が出てくる理屈をもう少し丁寧に見ていくために、練習問題をやってみたいと思います。

[問題1]========================
気体の圧力とは、単位面積あたりの面に対する気体粒子の運動量の変化の垂直成分であると考えられる。

画像


図のように ΔS の面積をもつ前に、その法線成分に対して角度θの方向から入射する運動量 q の粒子束の圧力に対する寄与は



であることを示せ(v はこの粒子の速度とする。)
================================


ここでは p が圧力で、q は運動量を示しているので、気を付けないといけませんね。
さて、運動量の変化は なので、これを単位時間Δt で割れば、粒子1個当たりが面におよぼす力になるでしょう。つまり、



となります。一方この面に当たる垂直方向の粒子束は であり、衝突個数は単位面積当たりの粒子束なので、ΔS で割り、

 

となるはずです。よって、圧力は



です。



[問題2]========================
運動量 q 、質量 m の粒子のもつエネルギー(静止質量を除く)を



としたとき、



の関係があることを示せ。
================================




一方、



なので、v について解くと、



となります。よって、





[問題3]========================
運動量空間の粒子における分布関数 f(q) 、統計自由度を g 、プランク定数を h としたとき、この系の個数密度 n 、全エネルギー密度 ρ 、圧力 p が







で与えられることを示せ。
================================


この系の、運動量 q 〜 q+Δq を持つ状態数密度は



なので、





同様に、
となります。



さらに、[問題1][問題2]の結果から、圧力は



なので、



であり、



から、



となります。


今日はこの辺で。。



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