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zoom RSS 「時空線形変換の一般系」を再掲

<<   作成日時 : 2011/10/16 13:11   >>

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以前に「時空線形変換の一般系」 http://teenaka.at.webry.info/200609/article_12.html という記事を書いていたのですが、一応内容を Tex で書き直しておこうと思います。

Σ系:x,t と、このΣ系に対しxの正の方向に一定速度vで移動している慣性系を Σ’系:x',t' として、その間の変換式を考えます。
ここで、条件として(x,t)=(0,0)のとき(x',t')=(0,0)とします。
そうすると、次のような一番簡単な一次変換が考えられます。





Σ’系の空間の原点 x'= 0 の点を Σ系から見ると、常に x = vt という直線上に在ることになります。
これを、式(1)に代入すると、



となり、t に無関係に成立しますから、

 

となります。
これを式(1)に代入すると、



となります。
ここで、Σ’系 ⇒ Σ系 の逆変換を考えます。
これには Σ系 ⇒ Σ’系 変換式において x⇔x’、t⇔t’ の他に v⇔ -v とすることで求めることが出来ます。
最後の v⇔ -v は、Σ’系に対して静止している観測者からΣ系を見ると、x’の負の方向にvで移動していることから、分かると思います。
これを式 (1)’に適用しますと、



が求められました。

式 (1)’、 (3)から 



となり、最終的には、



よって線形変換式は、



あるいは、



という形になります。


[ガリレイ変換]

Σ系とΣ’系で時間が共通「t'= t」とすると、「a = 1」となり、




[ローレンツ変換]

Σ系とΣ’系で光速度が不変とすると、x = ct という世界線は x' = ct' という世界線に変換されなければなりません。
よって、



なので、




さらに、



から、








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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
「ローレンツ変換を導出してみる(2)」で質問させていただいたものです。
よくわからないのは、「(1')のa」と「(3)のa」が同一である理由です。
一般にはaはvの関数ですから a(v)≠a(-v)であってもいいのではないかと
思うのです(ご指摘のあったように a(v)>0 かつ a(-v)>0であるのは理解できますが、
大きさが同じであることの理由がよくわかりませんでした)。
おそらく物理的な議論でa(v)=a(-v)を導くのであると思いますが、この点がわかりません。
よろしくお願い致します。

milove
2013/09/24 10:37
(1)'式で v の方向を逆にすると、x=a{x'-(-v)t'}=a(x'+vt') という式が出てきます。Σ系 と Σ’系 とは全く同等なのですから、この状態を Σ’系の座標表記に変更すると(3)式が出てきます。
ここは納得できなくても、その先を読んでいただくと、a は v^2 の関数であり、速度の方向(±)に関係無くなることが分かると思います。
T_NAKA
2013/09/24 15:04

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