T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS ロバートソン・ウォーカー計量の幾何学的性質

<<   作成日時 : 2011/07/24 11:04   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 1 / トラックバック 0 / コメント 5

「宇宙原理と宇宙の計量」「宇宙の計量の計算(1)」「宇宙の計量の計算(2)」「4次元ユークリッド空間内の3次元球面上の計量について」「4次元空間内の3次元双曲面上の計量について」という記事を書いてきましたが、これをまとめてみました。

まず計量を書いておきましょう。



曲座標の動径は x で表していますが、普通は r ですよね。これには意図があって、 r は別の意味に使うことになります。

ここでパラメータに少し注釈しましょう。

 ・スケール因子  :宇宙の長さの相似拡大縮小率の時間的変化を表す。

 ・空間曲率  :宇宙の幾何学を決定する定数。

となりますが、このロバートソン・ウォーカー モデルはこの2つの量だけで特徴づけらけるということです。
またこれらは空間座標 (x,θ,φ) には依存しません。

空間座標は

    :共動座標 (comoving coordinate)

    :固有座標 (proper coordinate)

と呼んで区別されます。
が宇宙膨張 に応じて変化する座標で、
は宇宙膨張とともに長さが変化する物差しを用いて測る座標に対応。
 
さて、K の符号によって以下の3つの異なる幾何を持ちます。

@)K = 0 :3次元ユークリッド空間

A)K > 0 :3次元球面

  4次元ユークリッド空間

 の中の半径 の球面

 

B)K < 0 :3次元双曲面
    
  4次元ミンコフスキー空間

 の中の3次元双曲面

  



さて K > 0 のとき



とすると、



となり、



と表現できます。
よって空間部分の体積は、







と有限値を持ちます。このため「閉じた宇宙」と呼ばれます。
これに比べ(@)と(B)は体積は無限となるため「開いた宇宙」と呼ばれます。


[追加]=========================================

はっしー帝國さんの質問の参考になるかは分かりませんが、



において、 K = 0 のときと K < 0 の場合を書いておきます。
(本文では省略して、 K > 0 のケースだけを書いたので、誤解されたようですね。)

K = 0 のとき



K < 0 のとき



となり、体積を求める際の積分範囲の上限が ∞ になって、結局、体積が無限大に発散してしまいます。

ところで、変数範囲を 0≦χ≦∞ と表してますが、 0≦χ<∞ が正しいです。TeX で"<" を入力すると、小文字になってHTMLと解釈されてしまい表示がメチャクチャになるので、苦肉の策でこういう表現をしていることをご理解下さい。


テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ
気持玉数 : 1
なるほど(納得、参考になった、ヘー)

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(5件)

内 容 ニックネーム/日時
閉じた宇宙、開いた宇宙の言葉の意味が解りました。ありがとうございました。K<0の場合√のなかがマイナスになるのでよくわからないのではありますが、体積の計算に着目したというところが少し解ったような気分になりました。
はっしー帝國
2011/07/24 16:05
はっしー帝國さん、コメントありがとうございました。本文には K>0 の場合のことしか書いてないので、分かり難かったですね。その他の場合について、追加しておきました。K≦0 で体積が発散してしまうことになります。
T_NAKA
2011/07/24 17:12
ああ(pon!!)、さういうことだったんですね。自分で手計算せず文面だけで理解しようとしたので誤解してしまいました。どうもありがとうございました。
はっしー帝國
2011/07/24 18:42
少しでも、この記事が参考になれば幸いです。
昨日は地デジ対応TVを買ってないので、ビデオデッキ経由で見るしかないか、、と思っていたら、こちらのケーブルTVがデジアナ変換を行っていたので、未だにアナログTVで放送を見ることが出来て一安心というところでした。またTVを買う機会を失いましたね。
T_NAKA
2011/07/25 06:18
ケーブルテレビですか?いいですねぇ〜。うちのテレビは現在は砂嵐です。我が家のお茶の間はNHKのAMラジオを楽しんでいます。ちょっと新鮮な雰囲気です。
はっしー帝國
2011/07/25 22:34

コメントする help

ニックネーム
本 文
ロバートソン・ウォーカー計量の幾何学的性質 T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる