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zoom RSS Schwarzschild 時空の曲率テンソル _ 備忘録

<<   作成日時 : 2011/06/05 00:01   >>

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ここは、気になっていたことを計算してみました。「Schwarzschild の解_(1)」http://teenaka.at.webry.info/200604/article_16.html という記事から Schwarzschild 時空の計量を求めています。このときリッチ・テンソルがすべてゼロとして仮定して計量を導出しました。
よって、求めた計量からリッチ・テンソルを計算するとゼロになることは明確です。しかし、曲率テンソルのいくつかはゼロにならないでしょう。それを確認してみました。

曲率テンソルの添え字は4つなので、正直に計算すれば 256 個の成分があるのですが、『Dirac「一般相対性理論」を読む_(14)』 http://teenaka.at.webry.info/200602/article_5.html のように、独立なものは 20 個であり、Schwarzschild 時空の場合はリッチ・テンソルがゼロのため計算自体はそんなに込み入ってないでしょう。

まず、前提ですが、ここでは Dirac「一般相対性理論」に記載された値を使って



であり、これから計算された(ゼロでない)クリストッフェル記号と、(ゼロでない)その偏微分を書きだすと次のようになります。

















これと



使って計算するのですが、さすがに 256 個を全部は骨が折れます。まあ対称性を使って簡略化しても良いのですが、とりあえず「リッチ・テンソルがすべてゼロ」というのが検証できる 64 通りを力技で計算して、リッチ・テンソルを計算してみました。


                       









                     




















ここから分かる通り、というか計量をそうやって導出したので当たり前ですが、すべてのリッチ・テンソルはゼロになります。
また、この 64 通りの中でゼロでない曲率テンソルを書きだしておくと、









となります。



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