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zoom RSS 「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲

<<   作成日時 : 2011/05/22 09:13   >>

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この「自由落下をもう少し考えてみた。。」http://teenaka.at.webry.info/201002/article_17.html という記事を Tex で数式を書いておこうと思いました。
どうもテキストベースで書いていると、数式がゴチャゴチャしてしまうので、、、

まず、シュバルツシルド時空の計量を書いておきます。



これは「東海岸方式」で書かれており、



は、ご存じのとおりシュバルツシルド半径ですね。
ここでは自由落下なので、dθ= dφ= 0 としてもよいでしょう。そうすると、



という簡単な式となります。ここで作用を



と表すと(τでの微分をドットを付けて表す)、測地線の方程式はオイラー・ラグランジュの方程式



を解くことで求まるはずです。ここで、



であり、L はあらわに t を含まないので、



から、



となります。さらにこれを使うと、



となります。一方、「東海岸方式」なので、 から、 となり、



です。これを変形して



となり、



になります。自由落下のため負号をとりました。
これは落下する物体の固有時τによる微分方程式ですが、座標時 t で表した方がニュートン理論と比較しやすいので、これについて考えます。




なので、



です。まとめると、



ですね。この方程式は t による1階微分方程式ですが、ニュートン理論と比較するには2階微分にしたいところです。よって、この式をさらに t で微分しましょう。











ここで、



を代入すると、



という式が求まりました。

さて、ここで近似的にニュートン理論に持っていきたいと思っていますが、εの扱いを考えてみます。
いまは自由落下のケースなので、落ち始めの初期値があるはずです。
座標時 t = ti 、粒子の固有時で τ = τi のときに r = ri の位置で質点が静止していたとすれば、



なので、



から、



ということになります。
つまり、いま自由落下している試験質点の位置がシュバルツシルド半径に比べて十分大きく、近似的にニュートン理論に持っていくには



として良いことになります。
これを適用すると、



と逆2乗の場が出てきました。

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こんばんは。
どちらでもいいのかも知れませんが、どうも私は「シュバルツシルド」はドイツ語発音の「シュバルツシルト」でないと、ピンと来ません^^;)。
ところで、『この方程式は r による1階微分方程式ですが、ニュートン理論と比較するには1階微分にしたいところです。よって、この式をさらに r で微分しましょう』は、『この方程式は rのtによる1階微分方程式ですが、ニュートン理論と比較するには2階微分にしたいところです。よって、この式をさらに t で微分しましょう』でしょうね。
この結果からシュバルツシルト半径に漸近すると落下速度は遅くなり、時間は伸び、半径付近に貼りつく様子が見て取れますね。
明男
2011/05/22 20:59
いつもご指摘ありがとうございます。これは大間違いをしてしまいました。早速直すことにします。実は、前に書いた記事の計算が正しいかどうか再検算しましたが、それは間違ってなかったようです。
T_NAKA
2011/05/23 01:15

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