T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 自由粒子の相対論的ラグランジアン _ 備忘録

<<   作成日時 : 2010/05/11 00:13   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 1 / トラックバック 0 / コメント 6

標題の「自由粒子の相対論的ラグランジアン」というは、どうも天下り的に与えられるという感じで釈然としないのが本音のところです。ここは自分なりに分かりたいということで、いろいろ書いてみます。私的な備忘録なので、論理の飛躍があるかも知れませんので、信用しないで下さいね。


教科書に書いてある「自由粒子の相対論的ラグランジアン」というのは、



です。近似的には



ですが、Newton 力学では



ですね。定数項は運動方程式を求める際には関係ないので、確かに辻褄が合います。
しかし、そういう観点ではエネルギーである



をラグランジアンの右辺としてそのまま使っても良さそうです。これを考える前に運動量も見ておきましょう。



ここで、E をハミルトニアン H に対応するものと考えて、解析力学を思いだすと、



という関係から、



となって、最初の式が出てきて理屈が通ったということになります。検算としてこのラグランジアンから運動量を逆にもとめてみましょう。



と正しい結果になりました。というより、そういう風にラグランジアンを定義したといった方が良いんでしょうね。。
さて、



であり、この固有時はローレンツ不変なので、この積分(実際は定積分)は定留性から作用と比例するものと考えて良いと思います。つまり、



であり、



から、



ということになります。


テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ
気持玉数 : 1
なるほど(納得、参考になった、ヘー)

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(6件)

内 容 ニックネーム/日時
はじめまして。一生懸命勉強しているようなのでお気に入り登録させていただきました。演繹的に考えると、相対論における粒子の作用積分は一般座標変換において不変であるべきで、そうすると世界線の長さ \int ds くらいしかないですね。理論物理学においては、作用積分は対称性の要請から決まると考えるのが一般的なのです。そしてあえて、それ以外の理由はない、という立場をとる。帰納的な理由は考えたらキリがありません。ちなみに南部のボゾン紐の作用積分もそういう経緯で世界面の面積で定義されます。
あもん
2010/05/15 15:39
あもんさん、適切なコメントありがとうございます。
お越しいただいて大変嬉しいです。拙い内容ですが宜しくお願いいたします。

なるほど、帰納的な理由は考えたらキリがなく、対称性の要請から決まるということですね。どうも天下り的に与えられるので、気持悪かったのですが納得です。
ちょっと違いますが、シュレディンガー方程式だって、なんでこうなるかという理由を考えると分からなくなりますし、与件として考えて解を考察した方が良いというのと同じ感覚です。
T_NAKA
2010/05/15 20:04
シュレーディンガー場の場合は、空間の回転対称性と位相変換における不変性から、時間に関して1階ならあの形(iψ^*∂_t ψ +A▽ψ^*▽ψ +Bψ^*ψ)しかないでしょう。時間に関して2階なら弾性体の理論になります。ちなみにシュレーディンガー場の2次の項 ψ*ψ はポテンシャルエネルギーがなくても、あると仮定しないとくりこみができません。つまり、電磁場など他の量子場との相互作用があった場合、シュレーディンガー場の場合はこの2次の項の係数に自己エネルギー(無限大)がくりこまれる仕組みになります。言い換えると、裸のポテンシャルエネルギーが無限大なのです。ちょっと余談でした。
あもん
2010/05/15 21:47
ご教示ありがとうございます。凄く勉強になります。
シュレディンガー氏が彼の方程式を発見した際、根拠があって求めたのではなく、突然閃いたもので、後付でそれらしい理屈を付けたというエピソードを思いましたので、先のコメントのような書き方をしました。対称性から考察したことがなかったので、大変ためになりました。
T_NAKA
2010/05/16 00:30
"位相変換における不変性"は余計だったかな。ラグランジアン密度のエルミート性だけで決まってしまうかもしれません。あまり考えないで書きました。すみません。シュレーディンガーの時代は場の量子論の対称性の概念すらなかったでしょうから、シュレーディンガーの閃きはまた別かもしれませんね。対称性による作用の構成については、九後さんの「ゲージ場の量子論I」の冒頭、もし読んでいなければ目を通してみると良いかもしれませんよ。相互作用表示を使わずハイゼンベルグ表示だけで済ます方針(エレガントだが難解)のため、全部読むのは大変ですが、古典論部分は他に例がないくらい丁寧に書かれています。
あもん
2010/05/16 14:16
標準的な量子力学の教科書は言ってみれば「電子の量子論」の説明が主で、「光子の量子論」については黒体輻射やコンプトン効果などで触れられるのみです。どうも光子が良く分からなかったので、電磁場の量子化から勉強してきました。そういう動機なので、いろいろ右往左往して本を読んでいます。最初から正統な「場の理論」を学んで来なかったので、九後さんの本は読んだことがありません。こんど書店で覘いてみようと思います。ご紹介、ありがとうございました。
T_NAKA
2010/05/17 08:48

コメントする help

ニックネーム
本 文
自由粒子の相対論的ラグランジアン _ 備忘録 T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる