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zoom RSS 時空線形変換の一般系で電磁気を変換してみる

<<   作成日時 : 2010/04/19 00:18   >>

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「愚直に電磁気のローレンツ変換を求めてみる(1)〜(3)」というシリーズを書いてきましたが、「時空線形変換の一般系」 で変換したら逆にローレンツ変換が出てくるかどうか?をチェックします。

「時空線形変換の一般系」 http://teenaka.at.webry.info/200609/article_12.html の結果から、

t'= [(1-a2)/(av)]x+at 、x'= ax-avt 、 y' = y 、 z' = z   

逆変換は

t = -[(1-a2)/(av)]x'+at' 、x = ax'+avt' 、 y = y' 、 z = z'

です。これから偏微分演算子の変換を求めてみます。

∂/∂t = (∂/∂t')(∂t'/∂t)+(∂/∂x')(∂x'/∂t) = a(∂/∂t')-av(∂/∂x')

∂/∂x = (∂/∂t')(∂t'/∂x)+(∂/∂x')(∂x'/∂x) = a(∂/∂x')+[(1-a2)/(av)](∂/∂t')

∂/∂y = ∂/∂y' 、∂/∂z = ∂/∂z' 

となり、これを (∂Ex/∂x)+(∂Ey/∂y)+(∂Ez/∂z) = 0 に適用すると、

a(∂Ex/∂x')+[(1-a2)/(av)](∂Ex/∂t')+(∂Ey/∂y')+(∂Ez/∂z') = 0

から、

-[(1-a2)/(av)](∂Ex/∂t') = a(∂Ex/∂x')+(∂Ey/∂y')+(∂Ez/∂z') …@

同様に、(∂Bx/∂x)+(∂By/∂y)+(∂Bz/∂z) = 0 に適用すると@式での E を B に置き換えればいいので、

-[(1-a2)/(av)](∂Bx/∂t') = a(∂Bx/∂x')+(∂By/∂y')+(∂Bz/∂z') …A

です。
また、c-2(∂Ex/∂t) = (∂Bz/∂y)-(∂By/∂z) に適用してみると、

c-2{a(∂Ex/∂t')-av(∂Ex/∂x')} = (∂Bz/∂y')-(∂By/∂z')

なので、

c-2a(∂Ex/∂t') = c-2av(∂Ex/∂x')+(∂Bz/∂y')-(∂By/∂z') …B

ここで、a×B-(ac-2v)×@ を計算すると、

c-2a2(∂Ex/∂t')+c-2(1-a2)(∂Ex/∂t')
= c-2a2v(∂Ex/∂x')+a(∂Bz/∂y')-a(∂By/∂z')-(a2c-2v)(∂Ex/∂x')-(ac-2v)(∂Ey/∂y')-(ac-2v)(∂Ez/∂z')

なので、整理すると、

c-2(∂Ex/∂t') = [∂{a(Bz-c-2vEy)}/∂y']-[∂{a(By+c-2vEz)}/∂x'] …(a)


次に、∂Bx/∂t = -(∂Ez/∂y)+(∂Ey/∂z) に適用します。

a(∂Bx/∂t')-av(∂Bx/∂x') = -(∂Ez/∂y')+(∂Ey/∂z')

なので、

a(∂Bx/∂t') = av(∂Bx/∂x')-(∂Ez/∂y')+(∂Ey/∂z') …C

となり、 a×C-(av)×A を計算すると、

∂Bx/∂t' = -[∂{a(Ez+vBy)}/∂y']+[∂{a(Ey-vBz)}/∂x'] …(b)


c-2(∂Ey/∂t) = (∂Bx/∂z)-(∂Bz/∂x) に適用します。

c-2{a(∂Ey/∂t')-av(∂Ey/∂x')} = (∂Bx/∂z')- a(∂Bz/∂x')-[(1-a2)/(av)](∂Bz/∂t')

なので、

c-2[∂{a(Ey+a-2c2v-1(1-a2)Bz)}/∂t'] = (∂Bx/∂z')-[∂{a(Bz-c-2vEy)}/∂x'] …(c)

∂By/∂t = -(∂Ex/∂z)+(∂Ez/∂x) に適用します。

a(∂By/∂t')-av(∂By/∂x') = -(∂Ex/∂z')+ a(∂Ez/∂x')+[(1-a2)/(av)](∂Ez/∂t')

なので、

∂{a(By-a-2v-1(1-a2)Ez)}/∂t' = -(∂Ex/∂z')+[∂{a(Ez+vBy)}/∂x'] …(d)


c-2(∂Ez/∂t) = (∂By/∂x)-(∂Bx/∂y) に適用します。

c-2{a(∂Ez/∂t')-av(∂Ez/∂x')} = a(∂By/∂x')+a-1v-1(1-a2)(∂By/∂t')-(∂Bx/∂y')

なので、

c-2[∂{a(Ez-a-2c2v-1(1-a2)By)}/∂t'] = [∂{a(By+c-2vEz)}∂x']-(∂Bx/∂y') …(e)


∂Bz/∂t = -(∂Ey/∂x)+(∂Ex/∂y) に適用すると、

a(∂Bz/∂t')-av(∂Bz/∂x') = -a(∂Ey/∂x')-[(1-a2)/(av)](∂Ey/∂t')+(∂Ex/∂y')

なので、

∂{a(Bz+a-2v-1(1-a2)Ey)}/∂t' = -[∂{a(Ey-vBz)}/∂x']+(∂Ex/∂y') …(f)

ということになります。
まとめると、
-----------------------------------------
c-2(∂Ex/∂t') = [∂{a(Bz-c-2vEy)}/∂y']-[∂{a(By+c-2vEz)}/∂x'] …(a)

∂Bx/∂t' = -[∂{a(Ez+vBy)}/∂y']+[∂{a(Ey-vBz)}/∂x'] …(b)

c-2[∂{a(Ey+a-2c2v-1(1-a2)Bz)}/∂t'] = (∂Bx/∂z')-[∂{a(Bz-c-2vEy)}/∂x'] …(c)

∂{a(By-a-2v-1(1-a2)Ez)}/∂t' = -(∂Ex/∂z')+[∂{a(Ez+vBy)}/∂x'] …(d)

c-2[∂{a(Ez-a-2c2v-1(1-a2)By)}/∂t'] = [∂{a(By+c-2vEz)}∂x']-(∂Bx/∂y') …(e)

∂{a(Bz+a-2v-1(1-a2)Ey)}/∂t' = -[∂{a(Ey-vBz)}/∂x']+(∂Ex/∂y') …(f)
-----------------------------------------

これが次の式に対応する訳です。
-----------------------------------------
c-2(∂Ex'/∂t') = (∂Bz'/∂y')-(∂By'/∂z') 、∂Bx'/∂t' = -(∂Ez'/∂y')+(∂Ey'/∂z') 

c-2(∂Ey'/∂t') = (∂Bx'/∂z')-(∂Bz'/∂x') 、∂By'/∂t' = -(∂Ex'/∂z')+(∂Ez'/∂x') 

c-2(∂Ez'/∂t') = (∂By'/∂x')-(∂Bx'/∂y') 、∂Bz'/∂t' = -(∂Ey'/∂x')+(∂Ex'/∂y')
-----------------------------------------

よって、

Ex' = Ex ; Bx' = Bx

Ey' = a{Ey+a-2c2v-1(1-a2)Bz} = a(Ey-vBz) ; By' = a{By-a-2v-1(1-a2)Ez} = a(By+c-2vEz)

Ez' = a{Ez-a-2c2v-1(1-a2)By} = a(Ez+vBy) ; Bz' = a{Bz+a-2v-1(1-a2)Ey} = a(Bz-c-2vEy)

であるはずです。


ここから出てくる条件は a-2c2v-1(1-a2) =-v であり、変形すると、 1-a2 =-a2(v/c)2 から a2{1-(v/c)2} = 1 で、a は正であるから、

a = {1-(v/c)2}-1/2 

であり、

(1-a2)a-2v-1 = -v2c-2v-1 = -vc-2

となります。よって、

t'= {1-(v/c)2}-1/2(t-vc-2x) ; x'= {1-(v/c)2}-1/2(x-vt) 

というローレンツ変換が出てきました。

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