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zoom RSS 愚直に電磁気のローレンツ変換を求めてみる(3)

<<   作成日時 : 2010/04/15 00:11   >>

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これで、材料が揃ったので、ローレンツ変換を求めることができます。
新たな慣性系を考えたとき、これは元の慣性系と同じ形式の式が成立する必要があるため、次のようになるはずですね。

c-2(∂Ex'/∂t') = (∂Bz'/∂y')-(∂By'/∂z') 、∂Bx'/∂t' = -(∂Ez'/∂y')+(∂Ey'/∂z') 

c-2(∂Ey'/∂t') = (∂Bx'/∂z')-(∂Bz'/∂x') 、∂By'/∂t' = -(∂Ex'/∂z')+(∂Ez'/∂x') 

c-2(∂Ez'/∂t') = (∂By'/∂x')-(∂Bx'/∂y') 、∂Bz'/∂t' = -(∂Ey'/∂x')+(∂Ex'/∂y')

これと、前記事の結論を並べてみます。

c-2(∂Ex'/∂t') = (∂Bz'/∂y')-(∂By'/∂z')
c-2(∂Ex/∂t') = [∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂y']-[∂{β(By+c-2vEz)}/∂x'] 

∂Bx'/∂t' = -(∂Ez'/∂y')+(∂Ey'/∂z')
∂Bx/∂t' = -[∂{β(Ez+vBy)}/∂y']+[∂{β(Ey-vBz)}/∂x'] 

c-2(∂Ey'/∂t') = (∂Bx'/∂z')-(∂Bz'/∂x')
c-2[∂{β(Ey-vBz)}/∂t'] = (∂Bx/∂z')-[∂{β(Bz-c-2vEy}/∂x']

∂By'/∂t' = -(∂Ex'/∂z')+(∂Ez'/∂x')
∂{β(By+c-2vEz)}/∂t' = -(∂Ex/∂z')+[∂{β(Ez+vBy)}/∂x'] 

c-2(∂Ez'/∂t') = (∂By'/∂x')-(∂Bx'/∂y')
c-2[∂{β(Ez+vBy)}/∂t'] = [∂{β(By+c-2vEz)}/∂x']-(∂Bx/∂y')

∂Bz'/∂t' = -(∂Ey'/∂x')+(∂Ex'/∂y')
∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂t' = -[∂{β(Ey-vBz)}/∂x']+(∂Ex/∂y')

ここから、

Ex' = Ex 、 Bx' = Bx

Ey' = β(Ey-vBz) 、 By' = β(By+c-2vEz)

Ez' = β(Ez+vBy) 、 Bz' = β(Bz-c-2vEy) 

となります。

ところで、β≒1 で、電場に注目すると、

Ex' = Ex 、Ey' = Ey-vBz 、 Ez' = Ez+vBy

なので、

(Ex' , Ey' , Ez') = (Ex , Ey-vBz , Ez+vBy) = (Ex , Ey , Ez)+(0,-vBz , vBy) = (Ex , Ey , Ez)+(v , 0 , 0)×(Bx , By , Bz)

つまり、

E' = E+v×B

であり、<力>を考えると

f = qE' = q(E+v×B)

となり、「ローレンツ力」の公式そのままが出てきます。

また、β≒1 で、磁場に注目すると、

Bx' = Bx 、By' = By+c-2vEz 、Bz' = Bz-c-2vEy 

なので、

(Bx' , By' , Bz') = (Bx , By+c-2vEz , Bz-c-2vEy) = (Bx , By , Bz)+(0 , c-2vEz , -c-2vEy)
= (Bx , By , Bz)-c-2(0 ,-vEz , vEy) = (Bx , By , Bz)-c-2(v , 0 , 0)×(Ex , Ey , Ez)

つまり、

B' = B-c-2v×E

ということになります。
この意味を少し考えてみましょう。

まず、逆変換を考えると、 v ⇔ -v とすれば良いから、

B = B'+c-2v×E'

です。
ここで、新しい慣性系で磁場はなく、点電荷 q のみがあるとしましょう。つまり、

B' = 0 、E' = qr/(4πε0 r3)

なので、

B = c-2v×{qr/(4πε0 r3)} = qv×r/(4πε0 c2r3)

であり、μ0 = ε0 c2 から

B = qv×r/(4πμ0 r3)
 
となります。
ここで、 qv は電荷の移動すなわち電流なので、導電エレメント dl を流れる電流 I を用いて qv → qdl/dt = Idl と書きかえれば、

dB = Idl×r/(4πμ0 r3)

となり、ビオ=サバールの法則が出てきます。

つまり、「ローレンツ力の公式」と「ビオ=サバールの法則」というのは、近似則であることが分かります。


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コメント(2件)

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はじめまして
B' = B-v×E/c^2はなんだろうかと思っていましたが、けっきょくビオ=サバールの法則になることを知りました。私もブログやっています。http://kyg1754qlr.cocolog-nifty.com/blog/
ghsobo
2011/11/08 08:19
ghsoboさん、コメントありがとうございます。

この記事が参考の一助となれば幸いです。さて、ghsoboさんのブログをざっと拝見させていただきましたが、同じようなことをやっている方の存在を知っただけでも心強く思いました。もう少し詳細に読ませていただいてからコメントさせていただきます。
T_NAKA
2011/11/09 08:42

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