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zoom RSS 愚直に電磁気のローレンツ変換を求めてみる(2)

<<   作成日時 : 2010/04/13 00:05   >>

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他の式に対しても変換を行うことにしましょう。

まず c-2(∂Ex/∂t) = (∂Bz/∂y)-(∂By/∂z) に適用すると、

c-2β{(∂Ex/∂t')-v(∂Ex/∂x')} = (∂Bz/∂y')-(∂By/∂z')

なので、

c-2β(∂Ex/∂t') = c-2βv(∂Ex/∂x')+(∂Bz/∂y')-(∂By/∂z') …B

ここで、β2{1-(v/c)2} = 1 を意識して β×B-(βc-2v)×@ を計算すると、

c-2(∂Ex/∂t') = [∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂y']-[∂{β(By+c-2vEz)}/∂x'] …(a)

次に、∂Bx/∂t = -(∂Ez/∂y)+(∂Ey/∂z) に適用します。

β{(∂Bx/∂t')-v(∂Bx/∂x')} = -(∂Ez/∂y')+(∂Ey/∂z')

なので、

β(∂Bx/∂t') = βv(∂Bx/∂x')-(∂Ez/∂y')+(∂Ey/∂z') …C

となり、 β×C-(βv)×A を計算すると、

∂Bx/∂t' = -[∂{β(Ez+vBy)}/∂y']+[∂{β(Ey-vBz)}/∂x'] …(b)

次に、c-2(∂Ey/∂t) = (∂Bx/∂z)-(∂Bz/∂x) に適用します。

c-2β{(∂Ey/∂t')-v(∂Ey/∂x')} = (∂Bx/∂z')-β{(∂Bz/∂x')-c-2v(∂Bz/∂t')}

なので、

c-2[∂{β(Ey-vBz)}/∂t'] = (∂Bx/∂z')-[∂{β(Bz-c-2vEy}/∂x'] …(c)

さらに ∂By/∂t = -(∂Ex/∂z)+(∂Ez/∂x) に適用します。

β{(∂By/∂t')-v(∂By/∂x')} = -(∂Ex/∂z')+β{(∂Ez/∂x')-c-2v(∂Ez/∂t')}

なので、

∂{β(By+c-2vEz)}/∂t' = -(∂Ex/∂z')+[∂{β(Ez+vBy)}/∂x'] …(d)

c-2(∂Ez/∂t) = (∂By/∂x)-(∂Bx/∂y) に適用します。

c-2β{(∂Ez/∂t')-v(∂Ez/∂x')} = β{(∂By/∂x')-c-2v(∂By/∂t')}-(∂Bx/∂y')

なので、

c-2[∂{β(Ez+vBy)}/∂t'] = [∂{β(By+c-2vEz)}/∂x']-(∂Bx/∂y') …(e)

さらに、∂Bz/∂t = -(∂Ey/∂x)+(∂Ex/∂y) に適用すると、

β{(∂Bz/∂t')-v(∂Bz/∂x')} = -β{(∂Ey/∂x')-c-2v(∂Ey/∂t')}+(∂Ex/∂y')

なので、

∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂t' = -[∂{β(Ey-vBz)}/∂x']+(∂Ex/∂y') …(f)

ということになります。
まとめると、
-----------------------------------------

c-2(∂Ex/∂t') = [∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂y']-[∂{β(By+c-2vEz)}/∂x'] …(a)

∂Bx/∂t' = -[∂{β(Ez+vBy)}/∂y']+[∂{β(Ey-vBz)}/∂x'] …(b)

c-2[∂{β(Ey-vBz)}/∂t'] = (∂Bx/∂z')-[∂{β(Bz-c-2vEy}/∂x'] …(c)

∂{β(By+c-2vEz)}/∂t' = -(∂Ex/∂z')+[∂{β(Ez+vBy)}/∂x'] …(d)

c-2[∂{β(Ez+vBy)}/∂t'] = [∂{β(By+c-2vEz)}/∂x']-(∂Bx/∂y') …(e)

∂{β(Bz-c-2vEy)}/∂t' = -[∂{β(Ey-vBz)}/∂x']+(∂Ex/∂y') …(f)

-----------------------------------------

今日はこの辺で。。

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