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zoom RSS 愚直に電磁気のローレンツ変換を求めてみる(1)

<<   作成日時 : 2010/04/11 00:15   >>

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テンソル形式にしてローレンツ変換すれば良いだけなのですが、ここは「相対性理論」(アインシュタイン著・内山龍雄訳/岩波文庫)の P40-41 の変換を導出を備忘録として書いていきたいと思います。
まず、真空中におけるマックスウェル方程式を書いておきます。

c-2(∂Ex/∂t) = (∂Bz/∂y)-(∂By/∂z) 、∂Bx/∂t = -{(∂Ez/∂y)-(∂Ey/∂z)} 

c-2(∂Ey/∂t) = (∂Bx/∂z)-(∂Bz/∂x) 、∂By/∂t = -{(∂Ex/∂z)-(∂Ez/∂x)} 

c-2(∂Ez/∂t) = (∂By/∂x)-(∂Bx/∂y) 、∂Bz/∂t = -{(∂Ey/∂x)-(∂Ex/∂y)} 

(∂Ex/∂x)+(∂Ey/∂y)+(∂Ez/∂z) = 0 、(∂Bx/∂x)+(∂By/∂y)+(∂Bz/∂z) = 0

これは、ある慣性系におけるものですが、この慣性系に対して相対速度 v で運動している新たな慣性系を考えたとき、これらの式はどういう変形を受けるか?というのがここでの問題です。
とりあえずブースト方向を x 軸として時空のローレンツ変換を書いておくと、

t' = β(t-c-2vx) 、 x' = β(x-vt) 、 y' = y 、 z' = z

 ただし、β≡{1-(v/c)2}-1/2  

となります。
逆変換は

t = β(t'+c-2vx') 、 x = β(x'+vt') 、 y = y' 、 z = z'

で、実はこちらの方を良く使います。これらの逆変換から、偏微分演算子の変換を求めてみます。

∂/∂t = (∂/∂t')(∂t'/∂t)+(∂/∂x')(∂x'/∂t) = (∂/∂t')β+(∂/∂x')(-βv) = β{(∂/∂t')-v(∂/∂x')}

∂/∂x = (∂/∂t')(∂t'/∂x)+(∂/∂x')(∂x'/∂x) = (∂/∂t')(-βc-2v)+(∂/∂x')β = β{(∂/∂x')-c-2v(∂/∂t')}

∂/∂y = ∂/∂y' 、∂/∂z = ∂/∂z' 

となり、これを (∂Ex/∂x)+(∂Ey/∂y)+(∂Ez/∂z) = 0 に適用すると、

β{(∂Ex/∂x')-c-2v(∂Ex/∂t')}+(∂Ey/∂y')+(∂Ez/∂z') = 0

なので、

βc-2v(∂Ex/∂t') = β(∂Ex/∂x')+(∂Ey/∂y')+(∂Ez/∂z') …@

同様に、(∂Bx/∂x)+(∂By/∂y)+(∂Bz/∂z) = 0 に適用すると@式での E を B に置き換えればいいので、

βc-2v(∂Bx/∂t') = β(∂Bx/∂x')+(∂By/∂y')+(∂Bz/∂z') …A

です。このように他の式も偏微分演算子の変換をほどこしていくことになりますが、今日はこの辺で。。

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