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zoom RSS 双対ベクトル基底(3)

<<   作成日時 : 2009/12/03 00:13   >>

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いわゆる共変ベクトルについて、反変ベクトルと同じように、その変換性を中心に勉強します。

一般座標変換、より適切には基底ベクトルの異なる選び方を表す式

eμ' = (∂xα/∂xμ')eα

に対応して

wμ' = wμ'αwα

と変更されるとしましょう。
とすると、<wμ,eν> = δμν に対応して、

wμ',eν'> = δμ'ν'

にならないといけない訳です。ここで、左辺を考えると、

wμ',eν'> = <wμ'αwα,(∂xα/∂xν')eα> = wμ'α(∂xα/∂xν')<wα,eα> = wμ'α(∂xα/∂xν'αα
= wμ'α(∂xα/∂xν')

なので、

wμ'α(∂xα/∂xν') = δμ'ν'

となり、ここから

wμ'α = ∂xμ'/∂xα 

が必要となります。

この結果から、

A~ = Aμ'wμ' = Aμ'(∂xμ'/∂xα)wα = Aαwα

となり、

Aμ = (∂xα'/∂xμ)Aα' 、Aμ' = (∂xα/∂xμ')Aα

という共変成分の変換則が得られます。

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しつこいようだが、ベクトルの成分は自ら喜んで変換しているわけでなく、基底が変化したので、その変化分をしりぬぐいさせられていて物理量そのものの幾何学的な意味での不変性を保つために仕方なく変換している、というべきである。
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ここで、「基底ベクトル」を論じたときに触れた「テンソル」の共変部分のことも考える必要があります。

================================================
以上の結果を用いると、一般のテンソル(物理量)は、その階数に応じて、wνeμ を組み合わせたテンソル積で展開できる:

画像


T を (m,n) 混合テンソルと呼び、 Tμ1…μmν1…νn がその成分である。
右辺テンソル積は、μi 番目に wαi を、μmj 番目に eβj を作用させたとき

画像



となるようなものとして理解しておけばよい。
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本音をいうと、テンソルに関する説明が少ないので、初めての人が「これで分かった」とは言えない状況だと思います。
一応「物理量はテンソル」ということと、テンソルというのはスカラーやベクトルを含むということを頭に入れておいて、具体的な例が出てきたときに考えても遅くないと思いますので、ここではサラっとした説明で逃げておきます。
数学的に「テンソルとは何?」とか調べても、深みに嵌るだけだと思いますので。。

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