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zoom RSS 双対ベクトル基底(2)

<<   作成日時 : 2009/11/27 00:30   >>

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双対ベクトル基底を定義したので、それを使ってベクトルを表現してみようということです。

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ところで、A は、そのもととなった「概念的な」意味での(幾何学的)物理量が存在するはずで、それをベクトルで表現したものが A であると考えれば、双対ベクトルの世界での対応物を A~ として、そちらを wμ で展開することも可能なはずである。

A~ = Aμwμ

この係数 AμA~ の共変(covariant)成分と呼ぶ(単に、共変ベクトルと呼ぶことのほうが多いが)。
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双対ベクトルの世界での対応物 A~ というのが分かり難い表現なんですが、基本的意味として A と同じものです。だから、普通の教科書では A~ と書かずに A としているものが多いです。
しかし、よく考えると、eμwμ は同じ世界に属してない(でも関係がある)とも考えられるので、ここでは区別されています。
 
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しかし、このままでは、本来1つの物理量を表すはずの AA~ の間の関係(あるいは、反変成分 Aμ と反変成分 Aμ の関係)が不明である。いわば「この世」と「あの世」の別の世界の表現を同じ土俵で考えるような仕組み(演算)が必要となる。
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このため、
この世での演算ベクトル同士の内積 ”・ ”
あの世とこの世を結び付ける演算を双対ベクトルとベクトル間の演算 <,>
として、

eμA~ に作用 → <A~,eμ> = Aαwα,eμ> = Aαδαμ = Aμ



eμA に作用 → eμA = Aα(eμeα) = gμαAα

とを同一視(等置)できるようにしたわけです。つまり、前記事で定義したように、

Aμ = gμαAα

となり、その結果、計量テンソルによって添え字の上げ下げができることが分かりました。

まあ、そんな結果か?と思う方もあろうかと思いますが、このことに疑問があって前へ進めなくなる人が多いように思えます。
こういうことはある程度おさえておくことが必要でしょう。


[捕捉]==============================
本当のところは
「murakさんの「微分幾何入門」(8)」
http://teenaka.at.webry.info/200603/article_8.html
元となるmurakさんの資料
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/riemann/riemann.pdf
(11〜12ページ辺り)
を参照していただくと良いと思います。
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今日はこの辺で。。

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