T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 双対ベクトル基底(1)

<<   作成日時 : 2009/11/25 00:16   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

一応「ベクトルの反変成分」を述べたので、「共変成分」に触れることになりますが、それを説明するためには「双対ベクトル基底」を理解しないといけません。本来なら接空間/余接空間という話になると思うのですが、ここはこの本「一般相対論入門」に沿って行くことにします。

A がベクトル量の場合、その成分を計算することを考えます。
もし、空間がユークリッド的で基底ベクトルが直交単位ベクトルならば、

eμA = Aμ

となりますね。いわゆる、単位ベクトルへの射影が、ベクトルの成分となるわけです。
しかし、基底ベクトルが直交しない場合、このようには行きません。
やってみると、

eμA = eμ・(Aαeα) = eμ・(eαAα) = (eμeα)Aα = gμαAα

となりますが、これは欲しかった Aμ そのものではないことはお分かりだと思います。
そこで、これを逆手にとって

Aμ ≡ gμαAα = Aα(eμeα)

を成分とするような「対応物」をつくることを考えてみましょう。


そのために、eμ に対する「双対ベクトル基底」wμ を、

wμ,eν> = δμν

という関係式を満たすものとして導入します。

---------------------------
(注)ここで、ベクトル同士の内積を表す ”・ ”と区別して、<,> を双対ベクトルとベクトル間(の内積)の演算記号としました。
---------------------------

こうすれば、

wμ,A> = Aαwμ,eα> = Aαδμα = Aμ

が成り立ち、eμ での展開係数である反変成分が得られます。

これは微分形式と呼ばれるものですが、直感的には、eμ を法線ベクトルとしたときの平面が wμ に対応するようなイメージだそうです。

画像



「双対」とは波数ベクトルと波面、ユークリッド空間の点と直線との関係のようなものとのことです。

今日はこの辺で。。


テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
双対ベクトル基底(1) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる