T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 基底ベクトル(1)

<<   作成日時 : 2009/11/18 00:13   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

「一般座標変換」で、任意の点 P において物理量 A(P) を定義しましたが、これを具体的な座標系で表すために、とにかく点 P のまわりで局所的に定義された基底ベクトルを設定しなくてはなりません。

ここで、

一般相対性原理の要請 : この基底ベクトルの選び方は一次独立な完全系である限りまったく任意である

ということを頭に置いておきましょう。
ここから、その次元は μ = 0〜3 の 4 つで一組となります。

eμ(P) 、eμ'(P) : 基底ベクトルの組の2つの例

とすると、お互いに他の基底でも展開できるので、

eμ'(P) = εμ'αeα(P)

と書けるはずです。

さて、一般相対論では

=========================================
物理量は本来時空のある一点で局所的(local)に定義されるものなので、たとえば任意の原点からの点 P までの距離、といった有限の領域にわたる非局所的な量を、点 P でだけで局所的に定義された eμ(P) によって展開することはできない。
=========================================

というふうに限定しても差し支えないようです。

では eμ(P) や eμ'(P) で展開できるのは何か?ということになりますが、これは P から無限小だけ離れた点までの差ということになります。具体的には、

eα(P) で展開すると、

dx = dxαeα

eμ'(P) で展開すると、

dx = dxμ'eμ'

となりますが、eμ' = εμ'αeα から

dx = dxμ'eμ' = εμ'αeαdxμ'

であり、

eαdxα = εμ'αeαdxμ'

ということになります。つまり、

dxα = εμ'αdxμ'

が言えます。ここから

εμ'α = ∂xα/∂xμ'

であり、eμ' = εμ'αeα から

eμ' = (∂xα/∂xμ')eα

ということになります。つまり、

=========================================
2つの座標系の基底ベクトル間の関係は、座標系間の変換行列で書ける。 
=========================================

ということです。

=========================================
より一般に、A(P) が eμ(P) の一次結合で展開できるときは
    A(P) = Aμeμ
この A(P) をベクトルと呼ぶ。
Aμeμ という座標系(基底)でみたときの A(P) の成分である。  
=========================================
 
なので、

A(P) = Aμ(P)eμ(P)

A(P) = Aμ'(P)eμ'(P)

であり、

eμ'(P) = εμ'αeα(P)

から、

A(P) = Aμ'(P)εμ'αeα(P)

となりますが、添え字を取り替えても意味は変わらないので、

A(P) = Aα'(P)εα'μeμ(P)

とすると

Aμ(P)eμ(P) = Aα'(P)εα'μeμ(P)

つまり、 Aμ(P) = Aα'(P)εα'μ から

Aμ = (∂xα/∂xμ')Aα'

となります。ところで、ここまでは

dxα = εμ'αdxμ'

という展開を考えていたのですが、 dxα' を dxμ で展開しても同じような導出ができて、そのときは

Aμ' = (∂xμ'/∂xα)Aα

という変換性を示すことになります。
まとめると、

基底ベクトルの変換性 : eμ' = (∂xα/∂xμ')eα

ベクトル A(P) の変換性 : Aμ' = (∂xμ'/∂xα)Aα

となりますが、 A(P) の変換性が基底ベクトルの変換性と逆になっていることが分かると思います。
ここから {Aμ} の組を A(P) の反変(cotravariant)成分と呼びます。

これで「反変」が分かったという人はそれで良いのですが、次回はもう少し掘り下げてみましょう。

今日はこの辺で。。

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
基底ベクトル(1) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる