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zoom RSS 一般座標変換

<<   作成日時 : 2009/11/16 00:28   >>

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ここは虚心坦懐に一般相対論をおさらいしていきたいと思います。
テキストは「一般相対性理論入門」(須藤靖著/日本評論社)を使いましょう。
では、まず「一般座標変換」を考えます。

一般座標変換の式

x'μ = fμ(x0,x1,x2,x3)

の意味を考えましょう。

普通、xμ で示される点(xμ の空間)を x'μ の空間の点への写像というふうに捉えられます。
しかし、このイメージは正しくないとこの本では言っています。
それより、「同一の世界点を単に異なる座標系で表示したことを示すに過ぎない」と考えるとのことです。

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むしろ同一の点の近傍で、異なる座標系を設定するような2種類の基底ベクトル eμ , eμ' を選んだことによって、その周りの点の座標成分が xμ から x'μ に変化したことを意味しているものと理解すべきである。
喩えて言うならば、同じ点の近傍を首をかしげて見るようなもので、基底ベクトルの局所的な選び方の任意性としてとらえるほうが適切であろう(違う点への対応の対称性は、エネルギー・運動量・角運動量保存のようなまったく別の要請となる)。
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かなり、スッキリとした見方だと私は思います。
ここを色々考えてしまい、堂々巡りしてしまうこともありますね。

ところで、添え字の上付き・下付きの考えかたを少し。

まず「アインシュタインの縮約」はご存知だと思いますが、添え字の上付き・下付きに同じ文字があれば、それを 0〜3 としてΣをとったものと同じ意味ということですね。(ちょっと表現が上手くないので、ググって調べて下さい。)
本当は反変とか共変とかを説明しないと、上付き・下付きを説明したことにはならないと思いますが、それは後ほどということにします。
ここでは、普通に考えて座標系の軸に当るのが、基底ベクトル eμ であり、位置ベクトルの座標成分を xμ と上付き添え字で表している簡単に考えておきます。
なんで、基底ベクトルは下付き添え字なんでしょうか?という疑問がありそうですが、これは「アインシュタインの縮約」を使うとベクトルは

x = eμxμ

と簡単に示せるからだと考えています。
本当にそうか?と迫られると返す言葉は無いのですが、こういう所で考えこんでも仕方がないでしょう。

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空間の各点でこのように自由に基底ベクトルを選んだ結果として、デカルト座標系では格子状に張り巡らされていた座標が、自由自在に伸縮するように変化して時空を覆いつくす、というのが一般座標変換に対する直感的なイメージだと思う。
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なるほど、こういう説明は直感的に分かります。

話を進めると、

A(P) : ある時空上の任意の点 P において定義された物理量

とします。(注:点 P とは、別に座標系に依らない概念である)
この物理量の本来座標系とは無関係に存在するはず。

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しかし残念なことに、単に概念的なものではなく、ある物理量を用いて何か具体的なことをするためには、その値、あるいは成分を決めないと先には進めない。
そこで、いやいやながら便宜的に座標系を設定するのである。
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つまり、本来なら座標系に依らない物理量なんだけど、具体的に座標系を設定しないと先に進まないということですね。

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この「いやいやながら」というところが重要で、物理量、さらに言えば物理学を記述する上で、座標系を導入することは本質的ではなく、あくまで便宜的・二次的なものであるという事実が一般相対性原理にほかならない、という言い方もできる。
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こういう言い方はあまり聞いたことが無いですね。
反対に、こういうところがこの本のユニークなところです。

これは蛇足ですが、時空の性質は曲率で決まるのですが、これは座標系に依らないでしょう。多分。。
曲がった時空は、どんな座標系を選んでも、曲がっています。多分。。

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