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zoom RSS 物質波への道(2)

<<   作成日時 : 2009/02/02 00:03   >>

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前回記事では体内振動 ν'0 というのを考えたのですが、これでは矛盾することを指摘しました。
では、論を少し進めます。

ド・ブロイはここで別の波を考えます。この粒子に随伴する波で「随伴波」という概念ですね。
この周波数を ν として、

ν=ν0/√{1-(v/c)2}=γν0

と置きます。ここで、ν0=ν'0 で、体内振動という考えを捨てたわけではありません。
こうすると、

E=mc2=hν

E=γm0c2=hγν0

なので、

ν0=ν'0=m0c2/h

という関係は保たれることになります。
さて、一般に波は

f(x,t)=Asin(ωt-kx)=Asin[2π{νt-(k/2π)x}]=Asin[2π{νt-(x/λ)}]=Asin[2πν{t-(x/u)}]

と表されます。
ここで、u は「位相速度」で、u=λν ですね。
また「位相」として

φ=2πν{t-(x/u)}

とすると、 f(x,t)=Asinφ と簡単に書けることになります。
ここで、粒子がx方向に走っているとして、粒子は時刻tには x=vt の位置に来ているので、そこで随伴波は

φ=2πν{t-(vt/u)}=2π[{1-(v/u)}ν]t

という位相をもっていることになります。
一方、体内振動の方は 2πν't という位相を持ちます。

ド・ブロイは
「この粒子内の周期現象といつも位相があっているような("仮想的な")波が粒子の運動に随伴していると考える必要があることを彼は認めた」

『量子論の発展史』(高林武彦著_ちくま学芸文庫)P160より

ということなので、

ν'={1-(v/u)}ν

でなければなりません。
ここで、

ν'=ν'0/γ=ν0/γ : ν=γν0

から、

ν'=ν0/γ=(ν/γ)/γ=ν/γ2={1-(v/c)2

なので、

1-(v/u)=1-(v/c)2

であり、位相速度は

u=c2/v

ということになります。
(v は c を超えられないので、位相速度 u は超光速となりますが、これ自体は情報を伝達するわけではないので相対論とは矛盾しないです。)

この位相速度をφの式に入れると、

φ=2πν{t-(x/u)}=2πν{t-(v/c2)x}

ですが、ν=γν0 から

φ=2πν0γ{t-(v/c2)x}

となります。
これは、静止系で Asin(2πν0t0) という定在波は、K系ではローレンツ変換のため

Asin[2πν0γ{t-(v/c2)x}] 

に移ることからも分かりますね。
(最初から、定在波のローレンツ変換を考えていれば「体内振動」というのは要らなかったのかな?)

さて、u=λν とν=mc2/h から、

λ=u/ν=(c2/v)/(mc2/h)=h/(mv)=h/p

という「ド・ブロイの関係式」が導出されました。
ここで、p は γm0v ですから、これは相対論に矛盾してません。
相対論に合致するように論理を進めてきたのですから当然ですね。
(「ド・ブロイの関係式の相対論的補正」などとの書き込みを目にしたので、誤解されている方がいらっしゃるようですね。)
さて、このように相対論から出てきたド・ブロイ波を方程式にしたのがシュレディンガー方程式なのですが、それが非相対論的なのは興味深いところです。
さて、これで一応終わりにしますが、物質波については色々話題がありそうなので、再開するかも知れません。

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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
物質波にはドップラー効果が伴うものでしょうか。
その波の実在性についてはどう考えますか。
cqf02343
2009/02/08 16:26
「自由粒子の存在確率なんですが、、 」という記事のコメント欄の私の書き込みを見ていただくと分りますが、私は量子力学に胡散臭さを感じております。「物質波」というものの実在性は疑問ですね。あくまで存在確率の片割れを示す状態関数でしかないという考えです。ドップラー効果というのはどうなのかな?横と縦があるのですが、横はあるとして、縦はあるのかな??疑問ですね。
T_NAKA
2009/02/08 22:09

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