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zoom RSS 調和振動子の例(1)

<<   作成日時 : 2008/11/26 00:15   >>

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ハイゼンベルグ表示の量子力学の例として「調和振動子」に適用してみましょう。
調和振動子自体は何度も書いているので、別に新しい話をする訳ではなく「場の量子論」に繋げたいからという考えです。

次図のような、モデルを考えましょう。

画像


ハミルトニアンは次の式になります。

画像



[基礎方程式]

 [p(t),x(t)]=-iħ

 (d/dt)f(t)=(i/ħ)[H,f(t)]

に基づくと、

画像



さて

[H,x]=[(1/2)p2+(1/2)ω2x2,x]=(1/2)[p2,x]+(1/2)ω2[x2,x]

ここで、 [x2,x]=0  であり、

[p2,x]=p2x-xp2=p2x-pxp+pxp-xp2=p(px-xp)+(px-xp)p=p[p,x]+[p,x]p=-2iħp

で、[H,x]=-iħp なので

画像



であり、さらに

画像



さて同様に

[H,p]=[(1/2)p2+(1/2)ω2x2,p]=(1/2)[p2,p]+(1/2)ω2[x2,p]

ここで、 [p2,p]=0  であり、

[x2,p]=x2p-px2=x2p-xpx+xpx-px2=x[x,p]+[x,p]x=-x[p,x]-[p,x]x=2iħx

で、[H,p]=iħω2x なので

画像



となり、古典力学と同一な形になることがわかります。

さて、量子力学なので、不確定性原理から、x(t)やp(t)を独立に求めることに意味はありません。
とりあえずエネルギーの固有値問題

 Hφ=Eφ

として解きましょう。
この具体的な解法については次回とさせてください。

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