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zoom RSS 調和振動子の物理_(1)

<<   作成日時 : 2006/07/10 00:07   >>

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ちょっと量子力学もやってみましょう。

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[例題1] ハイゼンベルグの運動方程式

ih~dA(P,Q)/dt=[A(P,Q),H] 、     (1)

(h~はh/2π、P,Qは演算子)と調和振動子のHamiltonian

H={P2/(2m)}+{(mω2/2)Q2}    (2)

を用いて、調和振動子の運動方程式、 Q''=-ω2Q を導け。
(「'」は時間微分)
==============================================================

[A,BC]φ=ABCφ-BCAφ=BACφ-BCAφ+ABCφ-BACφ=B(AC-CA)φ+(AB-BA)Cφ=B[A,C]φ+[A,B]Cφ

なので、

[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C    (3)

が成り立ちます。(いまさらですが。。)
さらに、[Q,P]=ih~ , [Q,Q]=[P,P]=0 です。
よって、

[Q,P2]=[Q,PP]=P[Q,P]+[Q,P]P=2ih~P
[Q,Q2]=[Q,QQ]=Q[Q,Q]+[Q,Q]Q=0
[P,P2]=[P,PP]=P[P,P]+[P,P]P=0
[P,Q2]=[P,QQ]=Q[P,Q]+[P,Q]Q=-2ih~Q

ということが言えます。
つまり、(2)から

[Q,H]={1/(2m)}[Q,P2]+(mω2/2)[Q,Q2]={1/(2m)}2ih~P=ih~P/m
[P,H]={1/(2m)}[P,P2]+(mω2/2)[P,Q2]=(mω2/2)(-2ih~Q)=-ih~mω2Q

となります。もう一度書くと、[Q,H]=(ih~)(P/m) 、[P,H]=(ih~)(-mω2Q) です。

よって、(1)より

(ih~)dQ/dt=[Q,H]=(ih~)(P/m) 、 (ih~)dP/dt=[P,H]=(ih~)(-mω2Q) が成り立ちます。よって、

Q'=P/m 、 P'=-mω2Q    (4) 

となり前の式を時間で微分して、P'を消去すると   Q''=-ω2Q 。
[終り] 

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[例題2] 次の演算子の交換関係を計算せよ。

a≡{mω/(2h~)}1/2{Q+i(P/(mω))}  、 a≡{mω/(2h~)}1/2{Q-i(P/(mω))}    (5)

=======================================================================

[A+B,C]=[A,C]+[B,C]    (6)

から、α=1/(mω) とすると、

[Q+iαP,Q+iαP]=[Q,Q+iαP]+iα[P,Q+iαP]=[Q,Q]+iα[Q,P]+iα{[P,Q]+iα[P,P]}=iα{[Q,P]+[P,Q]}=0
[Q-iαP,Q-iαP]=[Q,Q-iαP]-iα[P,Q-iαP]=[Q,Q]-iα[Q,P]-iα{[P,Q]-iα[P,P]}=-iα{[Q,P]+[P,Q]}=0
[Q+iαP,Q-iαP]=[Q,Q-iαP]+iα[P,Q-iαP]=[Q,Q]-iα[Q,P]+iα{[P,Q]-iα[P,P]}=iα{-[Q,P]+[P,Q]}=iα(-2ih~)=2h~/(mω)

となります。よって、

[a,a]=0  、[a,a]=0  、[a,a]=1      (7)

[終り]

=======================================================================
[例題3] 調和振動子のHamiltonian(2)を a , a で書き換えると、

H=(h~ω/2)(aa+aa)≡(h~ω/2){a,a}      (8)

である。ハイゼンベルグの運動方程式を解け。
=======================================================================

交換関係の基本式(3)(6)を用いれば

[a,aa+aa]=[a,aa]+[a,aa]
=a[a,a]+[a,a]a+a[a,a]+[a,a]a=2a

[a,aa+aa]=[a,aa]+[a,aa]
=a[a,a]+[a,a]a+a[a,a]+[a,a]a=-2a

なので、a 、a とHamiltonianの交換関係は

[a,H]=h~ωa 、 [a,H]=-h~ωa         (9)

となります。これを、ハイゼンベルグの運動方程式 ih~a'=[a,H] 、ih~a'=[a,H] に代入すれば

a'=-iωa 、a'=iωa  ⇒ a(t)=a(0)e-iωt 、a(t)=a(0)eiωt      (10)

と求まります。

[終り]


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